Внутренняя reasoning-модель OpenAI опровергла гипотезу о единичных расстояниях, которую в 1946 году сформулировал венгерский математик Пауль Эрдёш. Вместе с результатом OpenAI опубликовала сопроводительную статью, где девять внешних математиков проверили доказательство, сократили его и добавили комментарии.
Задача формулируется просто: нужно разместить на плоскости заданное число точек и определить, сколько пар точек могут находиться ровно на расстоянии одной единицы. Эрдёш предполагал, что почти оптимальный результат даёт простая конфигурация на слегка скошенной квадратной решётке. По словам математика Томаса Блума, за опровержение этой гипотезы Эрдёш предлагал 500 долларов.
Как пишет OpenAI, модель нашла новую конфигурацию точек, которая даёт заметно больше пар на единичном расстоянии, чем классическая квадратная решётка. Математик Принстонского университета Уилл Соуин оценил прирост примерно в 1% дополнительных пар при каждом удвоении числа точек. На первый взгляд это немного, но для данной гипотезы это принципиально: предполагалось, что такого выигрыша почти не может быть вовсе.
При этом задача не закрыта полностью. Известная с 1984 года теоретическая верхняя граница всё ещё заметно выше, чем результат новой конструкции.
Необычно и то, какие методы привели к результату. Вместо классической геометрии модель использовала алгебраическую теорию чисел. Она работала с системами комплексных чисел, чьи внутренние симметрии позволяют строить особенно плотные конфигурации точек. Эти инструменты давно применяются в теории чисел, но их перенос на базовую задачу плоской геометрии сами математики считали маловероятным.
Томас Блум в сопроводительной статье пишет, что человеку для такого решения должны были одновременно совпасть четыре условия: долго заниматься именно этой задачей, пойти против мнения Эрдёша и всерьёз пытаться её опровергнуть, захотеть перенести исходную конструкцию в язык числовых полей и хорошо знать достаточно специальную теорию полей классов. «ИИ соответствовал всем этим критериям», пишет Блум. По его словам, система сочетает «сверхчеловеческий уровень терпения» со знанием большого набора технических методов.
Соуин добавил и техническое объяснение. Естественный путь состоял бы в том, чтобы выбрать одну расширенную числовую систему и рассматривать в ней всё более крупные фрагменты. Однако, по его словам, это снова приводит к старой границе Эрдёша. Ключевой ход модели был противоположным: она сохраняла масштаб фиксированным внутри каждой числовой системы, но на каждом шаге переходила к всё более богатым системам. Почему именно такой переход работает, для людей было неочевидно, отметил Соуин.
Всего за месяц до решения Блум включил эту задачу в свой список «Топ-10 задач Эрдёша» в блоге. Он хотел показать, что многие задачи Эрдёша породили десятилетия глубоких методов, хотя после ряда более простых решений с участием ИИ часть наблюдателей начала считать их тривиальными.
Блум подчёркивал, что именно задача о единичных расстояниях десятилетиями не поддавалась доказательству. Он напоминал, что верхнюю границу, установленную в 1984 году Спенсером, Семереди и Троттером, не удавалось улучшить более 40 лет. «Эта задача служит отличным примером того, что, несмотря на некоторые впечатляющие результаты последних лет в дискретной геометрии, мы всё ещё очень далеки от понимания даже самых базовых вопросов», — писал он. И добавил, что не ожидал такого результата от ИИ уже через месяц.
Один из ведущих комбинаториков Нога Алон назвал результат «выдающимся достижением». По его словам, конструкция и её анализ применяют довольно сложные методы алгебраической теории чисел элегантным и изобретательным способом.
Лауреат Филдсовской премии Тимоти Гауэрс написал, что если бы такую работу в журнал Annals of Mathematics подал человек и попросил бы быструю оценку, то он «рекомендовал бы принять её без малейших колебаний». Он также назвал результат «вехой для ИИ в математике» и отметил, что ни одно прежнее доказательство, сгенерированное ИИ, не было настолько сильным.
Теоретик чисел Арул Шанкар увидел в работе признак того, что современные ИИ-модели способны предлагать оригинальные идеи и доводить их до результата, а не просто помогать математикам. Блум, однако, уточнил, что доказательство не даёт принципиально новых геометрических инструментов, которые, вероятно, потребовались бы для полного решения задачи. Но, по его словам, теперь ясно, что конструкции из теории чисел могут сказать о таких вопросах гораздо больше, чем считалось раньше.
Согласно платформе erdosproblems.com, которую ведёт Блум, в каталоге около 1 000 задач Эрдёша. По словам Терри Тао, к сентябрю 2025 года были решены около 380 из них. В начале 2026 года добавилось ещё примерно 50 решений — часть нашли люди, часть ИИ, часть появилась при совместной работе.
Именно поэтому Блум и составил свой список. Он писал, что видел, как некоторые математики стали пренебрежительно относиться к задачам Эрдёша после сообщений о том, что ИИ решил несколько сравнительно простых вопросов, и ошибочно перенесли это впечатление на все задачи сразу.
И OpenAI, и авторы сопроводительной статьи отдельно подчёркивают, что этот результат относится к другой категории. По формулировке OpenAI, это «первый случай, когда видная открытая проблема, важная для целого раздела математики, была решена ИИ автономно».
Блум признался, что его удивление было «слегка ослаблено», когда он узнал, что речь идёт об опровержении, а не о доказательстве гипотезы, и ослабло ещё сильнее, когда он увидел саму конструкцию. Тем не менее результат остаётся значимым: это не учебное упражнение, а трудная задача с историей почти в восемь десятилетий.
Соавтор сопроводительной статьи Дэниел Литт использовал этот случай, чтобы поставить более общий вопрос: почему существуют известные задачи, которые можно решить сравнительно коротким и изобретательным аргументом. По его версии, причин может быть две: исследователи слишком долго держатся за неудачные предположения или решение требует идей из разделов математики, которые плохо знакомы специалистам по самой задаче.
«Если эти объяснения верны, они должны вызывать у нас дискомфорт», — пишет Литт. По его словам, это говорит о том, что стимулы к узкой специализации и изоляции между разделами математики могли стоить науке части сильных результатов. Он противопоставляет этому подход ИИ, который систематически перебирает целые списки задач, резко увеличивая объём внимания к математическим вопросам.
Гауэрс откровенно описал свою реакцию. Сначала он ошибочно подумал, что ИИ доказал гипотезу, а не опроверг её, и провёл вечер, «перестраивая свою картину мира». На следующее утро, когда недоразумение прояснилось, это стало для него «большим облегчением». По его мнению, опровержение ещё можно представить как результат терпения и множества попыток, тогда как полноценное доказательство потребовало бы глубокого прозрения.
В сопроводительной статье Гауэрс предлагает собственную меру трудности доказательств — «колмогоровскую сложность по модулю экспертов». Это длина кратчайшей последовательности подсказок, с помощью которой эксперт смог бы самостоятельно восстановить доказательство. По его оценке, ИИ пока не превосходит людей во всём, но имеет сильные стороны в некоторых типах задач: энциклопедические знания, меньшую зависимость от распределения времени и готовность долго проверять гипотезы, которые людям кажутся маловероятными.
При этом, считает Гауэрс, прогресс на этом не остановится. Вскоре появятся решения ИИ, которые людям будет трудно объяснить задним числом как якобы более простые, чем казалось сначала. Даже если ИИ не находит длинные и очень сложные доказательства, математикам уже будет всё труднее конкурировать с ним в решении задач.
Блум оценивает значение результата осторожнее. На свой главный вопрос — узнала ли математика что-то новое о самой задаче — он отвечает «скорее да, но с оговорками». По его словам, числовые конструкции из теории чисел оказались гораздо содержательнее для таких вопросов, чем ожидалось, а сама нужная теория может быть очень глубокой.
Он добавляет, что некоторым специалистам может не хватать в этом доказательстве «сильных новых геометрических инструментов» или неожиданных структурных выводов, которых, вероятно, потребовало бы полное доказательство гипотезы. При этом задним числом решение выглядит естественным обобщением, хотя и крайне нетривиальным.
По словам Блума, сила ИИ в данном случае в том, что он сочетает «сверхчеловеческое терпение» со знанием огромного числа технических методов и упорно идёт по путям, которые человек мог бы счесть пустой тратой времени.
Сама сопроводительная статья показывает, как в будущем может делиться работа между ИИ и исследователями. Как пишет Блум, исходное доказательство модели было «полностью корректным», но математики заметно улучшили его. Только после доработки Соуина появилась конкретная оценка улучшения, а опубликованная версия стала короче и шире по охвату, чем оригинал.
Недавно Терри Тао посвятил этой второй стадии отдельное выступление на Future of Mathematics Symposium в Стэнфорде. Он считает, что математическая практика столкнулась с «несварением доказательств»: ИИ всё быстрее генерирует и проверяет доказательства, а человеческое понимание, объяснение, контекст и дальнейшее развитие результатов не успевают за этим темпом.
По критерию Тао решение можно считать по-настоящему завершённым, если о нём можно сделать доклад и ответить на вопросы. В случае с опровержением гипотезы о единичных расстояниях девять известных математиков согласились выполнить именно эту работу. Останется ли такой стандарт применимым при росте числа результатов ИИ, пока неясно.
Источник: The Decoder, OpenAI, сопроводительная статья с комментариями девяти математиков.
